Правильно построены словосочетания …

Ответы:

+ указать дату экзамена

+ оплатить страховой полис

− управляющий департамента

− понимать об ответственности

Решение:

Согласно синтаксическим нормам, глагол указать управляет формой винительного падежа существительного: указать (что?) дату.
Глагол оплатить управляет формой винительного падежа без предлога: оплатить (что?) полис.

Розенталь, Д. Э. Управление в русском языке. Словарь-справочник / Д. Э. Розенталь. – М. : Оникс 21 век, 2003.
ответ тест i-exam